벡터공간,부분공간, 행렬의 열공간

1. 벡터공간과 부분공간

지금부터는 단순 계산을 넘어 벡터들이 이루는 "공간"에 대해서 공부한다. 첫번쨰로 선형결합(linear combination)과 벡터공간(vector space)의 의미와 예시를 공부한다.

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선형결합: 선형결합이란 특정한 벡터들의 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 새로운 벡터를 만드는 과정이다. 이때 스칼라는 실수에만 국한되는 것이 아닌 모든 복소수를 포함할 수 있다.

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벡터공간: 특정한 벡터들로 이루어진 집합 V 내부의 어떠한 벡터들에 대해서도 벡터의 스칼라배와 벡터간의 덧셈이 여전히 V에 속할 때 집합 V를 벡터공간 이라고 한다. 즉 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다.

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각 개념에 대한 예시는 다음과 같다:

벡터공간이라는 개념을 도입함에 있어 가장 큰 장점은 고차원 공간을 쉽게 다룰 수 있다는 것이다. 굳이 좌표공간과 벡터를 그릴 필요 없이(사실 4차원부터는 그리지도 못하지만) 원소들만 가지고 고차원 공간 혹은 벡터를 다룰 수 있다.

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R^n 이외에 중요한 세 가지 벡터공간이 있는데 다음과 같다:

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벡터공간 M : 모든 2차 실수 정방행렬로 이루어진 벡터공간, 구성 벡터들은 모두 행렬이다. 2차 정방행렬의 원소 수가 4개이므로 이 공간은 4차원 공간이다.

벡터가 행렬이라는 말이 직관적으로 와닫지는 않지만 미적분에서 함수를 벡터로 보는 것과 비슷한 이야기인것 같다. (벡터는 화살표를 나타내는것만은 아니니까) 또한 벡터공간에 속한 벡터들의 원소 수가 n개이면 그 공간은 R^n의 부분집합이며, 반드시 n차원인 것은 아니다. 차원에 대한 더욱 자세한 설명은 나중에 나온다.

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벡터공간 Y : 이계 미분방정식의 모든 해로 이루어진 벡터공간, 구성 벡터들은 모두 함수이다. 이계 미분방정식은 영공간 해와 특수해 두 가지를 가지기 때문에 2차원이다.

영공간 해는 입력 q(t)의 영향을 받지 않으며 특수해는 입력 q(t) 에 의해서만 생성된다. 따라서 두 해(함수)는 독립이며 공간 Y는 2차원이다.

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벡터공간 Z : 영벡터만으로 이루어진 벡터공간, 구성 벡터는 오로지 영벡터이다. 이는 0차원이다.

 

 

 

 

2. 벡터공간의 부분공간

벡터공간 내부에 또 다른 벡터공간이 존재한다.(거의 무조건 존재한다) 이를 벡터공간의 부분공간(subspace)라고 하며 다음과 같이 정의된다.

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정의: 벡터공간의 부분공간은 영벡터를 포함한 벡터들의 집합으로서 다음 두 조건을 만족한다: 벡터 v와 u가 원래 벡터공간과 해당 부분공간에 속한 벡터일 때,

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조건 1: u + v 는 부분공간에 속한다.

조건 2: 임의의 스칼라 c에 대해 cu, cv 또한 부분공간에 속한다.

조건 1 + 조건 2: v와 u를 포함하는 부분공간은 모든 선형결합 cv + du 또한 포함한다.

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부분공간에서 중요한 사실은 모든 부분공간은 영벡터를 포함한다는 것이다. 당장 조건 2 에서 c = 0 인 경우는 영벡터 뿐이다! 모든 부분공간은 영벡터를 포함해야 하며 Z는 모든 벡터공간의 부분공간이다.

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아래의 세 단계는 임의의 벡터공간으로부터 부분공간을 "생성하는" 방법이다.

여기서 SS는 S를 포함하는 가장 작은 부분공간이라는 것이다. 예시로 3차원 실수 좌표공간 R^3 으로부터 임의의 원점을 지나는 평면을 만들어 보면

 

 

 

 

3. 행렬의 열공간 C(A)

방정식 Av = b 를 풀어 올바른 해 v를 찾기 위해서는 어떤 조건이 필요한가? 만약 A가 가역 행렬이라면 어떠한 b에 대해서도 해 v는 유일하게 존재할 것이다. A가 비가역이라면, 특정한 b에 대해서만 해를 가질 것이다. 이제 해를 찾는 것에 집중하지 말고 방정식 Av = b 가 해를 가지게 하는 b들의 조건을 찾는 데 집중할 것이고, 해를 가지는 벡터 b의 집합을 A의 열공간, C(A) 로 표현할 것이다.

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정의: 행렬의 열공간은 행렬 내부 열벡터들의 모든 선형결합으로 이루어지는 벡터공간(혹은 부분공간)이다. 행렬을 A로 표현할 경우 이를 A의 열공간 혹은 C(A) 로 표현한다.

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위에서 언급한 V - S - SS 방법을 사용해서 열공간을 체계적으로 구성해 보자. A를 m x n 행렬로 두고 C(A)를 찾을 것이다.

열공간 개념을 통해 방정식 Av = b 가 해를 가지게 하는 b의 조건을 알 수 있다. 행렬 - 벡터 곱 Av는 A의 열들의 선형결합으로 볼 수 있다. 따라서, 좌변 b는 A의 열들의 모든 선형결합 중 하나여야 하고 이는 b가 열공간 C(A)에 속한다는 것과 동치이다. (집합 SS의 원소들 형태를 보라.) 또한 선형결합의 스칼라들, 즉 계수 c_1, c_2 ...는 벡터 v의 원소들이고 이는 방정식의 해이다.

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연습 문제

(5.1절 연습문제 15번) 행렬 A의 오른쪽 끝에 열벡터 b를 추가한 행렬을 [A l b] 라고 하자. C([A l b]) 가 C(A) 보다 커질 조건을 찾아라.

(5.1절 연습문제 19번) C(A) = C(A - I) 인가?

(5.1절 연습문제 22번) S와 T가 벡터공간 V의 두 부분공간이라고 하자. 다음 명제를 증명하라: S U T 의 생성집합은 S + T 이다.