미래로

이 포스트에서는 정사각행렬을 고유벡터들로 이루어진 행렬과 대각 행렬의 곱으로 분해(대각화)하는 방법에 대해 배우고 그 활용으로서 행렬의 거듭제곱과 이를 사용한 차분방정식의 풀이에 대해 공부한다. ​ 1. 행렬의 대각화​ 간단한 설명은 아래와 같다: 유도과정은 다음과 같다: 여기서 하나 짚고 넘어갈 것이 있다. 행렬 A를 대각화시키면 A=VΛV^-1 형태로 나타나게 되는데, 이때 고유벡터 행렬 V 내부의 열벡터들과 고유값 행렬 Λ을 구성하는 원소들(A의 고유값들)의 배치 순서가 서로 같게 나타난다. (Ax = lambda x 를 만족하는 벡터와 값들이 서로 같은 위치에 있다. 예를 들어 두번째 고유값에 대응하는 고유벡터는 V의 2열에 위치한다.) 이때, 식 A=VΛV^-1 에서 V의 열들의 위치를 바꾼다면..

이번 포스트에서는 연립 선형 미분방정식을 푸는 방법으로 시작하여 새로운 개념인 고유값과 고유벡터에 대해 공부한다. 1. ​연립 미분방정식의 풀이 다음과 같은 연립 미분방정식이 주어졌다고 하자. 해 y_1 과 y_2 는 분명히 서로 연관되어 있을 것이며, 미분방정식이므로 해는 e^ct 형태로 나타날 것이라고 추측할수 있다. 또한 각각의 방정식에서 한 y의 증가율이 서로 다른 y들의 합으로 나타내어져 있으므로 두 y의 증가율(지수 c값)은 같을 것이다. ​ 그렇다면 두 개의 해 y_1과 y_2 는 각각 ae^ct, be^ct 꼴로 나타날 것이고, 여기서 벡터 x=(a,b)를 계수 행렬 A의 고유벡터(eigenvector), 상수 c값을 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이 된다.(참고로 고유값은 그리스 ..

1. 행렬식 처음으로 행렬식(determinant)에 대해 알아보자. 행렬식이란 어떠한 행렬에 대해 유일하게 대응되는 숫자로서 다음과 같이 계산한다. 나중에 설명하겠지만 정사각행렬이 아닌 행렬의 행렬식은 무조건 0이기 때문에 계산과정은 정사각행렬에 대해서만 설명하겠다. 좀더 간단하게 설명하자면 다음과 같다. 또한 "A의 행렬식"을 기호로 det(A) 라 표현할 수도 있다. 여기까지 행렬식을 구하는 방법에 대해 알아보았고, 이제 행렬식의 성질에 대해 알아보자. 각 성질에 관한 증명들은 책에 나와있지도 않고(애초에 행렬식 자체가 2페이지로 끝남. 책의 뒷부분에서 자세히 배운다면 추가할 예정) 찾아보기도 귀찮으니 증명은 패스. 그 대신 아래 성질들로부터 알 수 있는 내용만 정리한다. ​ 성질 0. 비가역 행렬..

이번 포스트에서는 선형대수학의 두 번째 기본정리를 공부한다. 그 전에 필요로 하는 개념들이 몇 가지 있기 때문에 먼저 그것들을 설명하면서 시작하자. 1. 직교여공간 저번 포스트에서 동일한 행렬에 대해 열공간과 좌영공간이 서로 수직이라고 하였다.(정확히 말하자면 두 부분공간에 속한 모든 벡터들이 서로 수직) 이러한 상황을 표현하기 위해 "직교여공간"이라는 개념을 도입할수 있다. 이 기호를 사용하여 저번 포스트에서 배운 것들을 표현해보자면 대충 N(A) = C(A^T)^perp 라고 표현할 수 있겠다. 다음은 직교여공간의 주요 성질들이다. 단 아래의 성질들은 벡터공간 S가 R^n 의 부분공간이어야만 항상 성립한다. ​ 1.1. S가 R^n 상의 부분공간이라면 S^perp 또한 R^n 상의 부분공간이다. 1...

코로나 때문에 격리 및 싸지방 통제+전역후 싸돌아다니기 및 GTA로 인해 간만에 쓰는 포스트 ​ 이번 포스트에서는 지금껏 공부한 영공간 및 열공간에 전치행렬 A^T를 추가하여 A^T의 열공간과 영공간, 그리고 이 네 가지 부분공간들간의 관계를 알아본 후 선형대수학의 기본정리 첫 번째를 공부한다. 1. 행공간 = 전치 행렬의 열공간 임의의 행렬 A를 생각한다. 보기 편하도록 적당한 숫자를 넣어 3X5 행렬을 만들면 여기서 행렬 A의 열공간과 영공간은 바로 찾을 수 있다. 이제 새로운 부분공간을 공부한다. 첫번째로 A의 행들의 선형결합으로 생성되는 부분공간을 행공간(row space)라 하고 기호로 C(A^T)로 표시한다. 기호를 살펴보면 행공간은 원래 행렬을 전치시켜서 얻은 행렬의 열공간과 같은데, (당연..

이번 포스트에서는 선형독립을 정확하게 정의한 후 기저를 배우고 그를 통해 벡터공간의 차원을 명확하게 구한다. 1. 선형독립 "벡터들이 선형독립이다" 라는 문장에서 선형독립을 다음과 같이 정의한다. 선형독립의 정의 1: 임의의 행렬 - 벡터 곱으로 표현된 방정식 Av = 0의 해가 v = 0으로 유일할 때, A의 열벡터들이 선형독립(linearly independent)이라고 한다. ​ 즉 행렬 A의 열들 q_1, q_2...q_n 의 어떠한 0이 아닌 선형결합도 영벡터를 만들 수 없다면 열벡터 q_k들은 선형독립이다. 이를 다르게 표현한다면, N(A) = Z 이다. 행렬의 영공간에는 오직 영벡터만이 존재한다. 또한 이는 선형독립의 또 다른 정의이다. 선형독립의 정의 2: 임의의 벡터들 u_1, u_2....

저번 두 포스트에서 행렬의 영공간과 영공간 해, 열공간을 공부했다. 이번 포스트에서는 추가적으로 방정식의 특수해(special 말고 particular)를 구하고, 이를 바탕으로 연립방정식의 완전해를 구한다. ​ 기본적인 원리는 지난 포스트 "가우스 소거법으로 선형 연립방정식 풀기"와 같다. 연립방정식을 행렬 - 벡터 곱 Av = b 형태로 표현하고 가우스 소거와 조던 소거를 적용하여 U 혹은 R 형태로 만든 다음 후진대입하여 푼다. 다만 이 절에서는 주어진 시스템이 가역이 아닌 경우까지 포함하며, 다른 부분또한 조금 더 일반적으로 공부한다. 1. 방정식의 특수해와 완전해 구하기 직전 포스트에서 방정식의 영공간 해를 구하는 방법을 공부했다. 방정식의 완전해 = 특수해 + 영공간의 해 이므로, 특수해를 구..

1. 행렬의 영공간 정의: 행렬 A의 영공간을 N(A)로 표시하며 방정식 Av = 0 의 모든 해 v의 집합을 의미한다. 행렬이 n개의 열을 가질 때, N(A) 는 R^n의 원소이다.​ ​ 이에 대해 몇 가지 논의할 것이 있다. 첫 번째로, 영공간은 부분공간인가? 결론부터 말하자면 그렇다. 방정식 Av = 0을 만족하는 특정한 해 벡터 u, w 가 있다고 가정하면, Au = Aw = 0 이고 A(u + w) = 0 을 만족한다. 스칼라 c, d에 대해 A(cu) = cAu = 0 이므로, A(cu + dw) = 0 이다. 따라서 N(A)는 두 벡터의 선형결합 cu + dw 로 표시 가능하고,방정식의 자명한 해 v = 0을 반드시 포함한다. 따라서 행렬의 영공간은 무조건 부분공간이다. ​ 두 번째로, 방정..

1. 벡터공간과 부분공간 지금부터는 단순 계산을 넘어 벡터들이 이루는 "공간"에 대해서 공부한다. 첫번쨰로 선형결합(linear combination)과 벡터공간(vector space)의 의미와 예시를 공부한다. ​ 선형결합: 선형결합이란 특정한 벡터들의 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 새로운 벡터를 만드는 과정이다. 이때 스칼라는 실수에만 국한되는 것이 아닌 모든 복소수를 포함할 수 있다. ​ 벡터공간: 특정한 벡터들로 이루어진 집합 V 내부의 어떠한 벡터들에 대해서도 벡터의 스칼라배와 벡터간의 덧셈이 여전히 V에 속할 때 집합 V를 벡터공간 이라고 한다. 즉 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. ​ 각 개념에 대한 예시는 다음과 같다: 벡터공간이라는 개념을 도입함에 있어 가장 큰 장점은 고차원 공간을 쉽게 ..

1. 직교 행렬 정규직교 행렬(standard orthogonal matrix) 혹은 직교 행렬은 행렬의 전치가 역행렬과 같은 정사각행렬이다. 즉 A^T = A^-1 이다. 여기서 한 가지 성질을 확인할 수 있다. 행렬이 정규직교행렬일 때 행렬의 모든 열벡터의 크기는 1이며 서로 직교한다. (내적값이 0이다.) 일반적인 경우에 대해 증명은 다음과 같다: 또한 직교 행렬과 다른 직교 행렬의 곱이 존재한다면 그 곱 또한 직교 행렬이다. 즉 두 직교행렬 Q_1, Q_2 에 대해 Q = Q_1 Q_2 또한 직교 행렬이다. (참고)행렬이 정사각행렬이 아닐지라도 열벡터들의 길이가 1이고 서로 직교하면 Q^T Q = I 를 만족할 수 있다. 다만 이 경우 행렬 Q의 열의 개수가 행의 개수보다 많아야 하며(즉 Q가 m..