선형대수의 기본정리 (2)

이번 포스트에서는 선형대수학의 두 번째 기본정리를 공부한다. 그 전에 필요로 하는 개념들이 몇 가지 있기 때문에 먼저 그것들을 설명하면서 시작하자.

 

 

1. 직교여공간

저번 포스트에서 동일한 행렬에 대해 열공간과 좌영공간이 서로 수직이라고 하였다.(정확히 말하자면 두 부분공간에 속한 모든 벡터들이 서로 수직) 이러한 상황을 표현하기 위해 "직교여공간"이라는 개념을 도입할수 있다.

이 기호를 사용하여 저번 포스트에서 배운 것들을 표현해보자면 대충 N(A) = C(A^T)^perp 라고 표현할 수 있겠다. 다음은 직교여공간의 주요 성질들이다. 단 아래의 성질들은 벡터공간 S가 R^n 의 부분공간이어야만 항상 성립한다. 

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1.1. S가 R^n 상의 부분공간이라면 S^perp 또한 R^n 상의 부분공간이다.

1.2. R^n 상의 부분공간 S에 대해 S의 직교여공간의 직교여공간은 S 자신이다. 즉 (S^perp)^perp = S 이다.

증명은 어려워서 패스

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1.3. R^n 상의 부분공간 S에 대해 S XOR S^perp = R^n 이다. 즉 어떠한 벡터공간은 특정 부분공간과 그 부분공간의 직교여공간으로 나누어진다. 단, 특정 부분공간과 그 직교여공간 두 공간에 동시에 존재하는 벡터가 영벡터로 유일하여야 한다.

xyz축으로 이루어진 3차원 좌표공간으로 예를 들수 있다. 이는 공간 R^3일 것이다. R^3에 속하는 임의의 벡터 v=(a,b,c)를 하나 정하고, v로부터 생성되는 부분공간을 상상해 보자. 방향벡터가 v인 모든 직선일 것이다. 이를 S라고 하자.

 

그렇다면 이 S의 직교여공간 S^perp 에 대해, 직교여공간의 정의에 의해 S^perp의 모든 벡터들은 S의 벡터, 즉 방향벡터가 v인 모든 직선에 수직이어야 한다. 어떠한 벡터 v에 수직인 모든 벡터들은 바법선벡터가 v인 평면 위에 존재할 것이다. 

초록색 직선으로 표현되어있는 S와 파란색 평면으로 표현되어있는 S^perp의 모든 벡터들을 더하면 전체 공간 R^3가 나오는 것을 확인할 수 있다.

당연히 R^3에 국한되는 것이 아니라 조건만 맞아준다면 모든 경우에도 성립하나, 일반적인 증명을 찾을 수가 없어서 이정도로만 하기로 한다.

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2. 연립방정식에서 선형대수의 기본정리 2

이제 직교여공간 개념을 사용하여 선형대수학의 두 번째 기본정리를 표현할 수 있다.

이것을 사용하여 명제 "방정식 Av = b의 특수해는 행렬 A의 행공간에 무조건 존재한다"가 참임을 보일 수 있다. A가 mXn 행렬이라고 하면 열 개수가 n개이므로 특수해의 성분 개수 또한 n개일 것이다. 즉 특수해가 공간 R^n에 존재한다는 것인데, 직교여공간의 세번째 성질 및 선형대수학의 두번째 기본정리에 의해 공간 R^n 이 행렬의 행공간 및 영공간으로 양분된다는 것을 알 수 있다. 따라서 특수해는 행렬의 행공간 혹은 영공간 둘 중 하나에 반드시 존재하게 되는데, 영공간에 속한 벡터는 Av = b 를 만족시킬 수 없으므로 방정식의 특수해는 행렬의 행공간 C(A^T)에 존재하게 된다.

 

 

 

 

​3. 계수가 1인 행렬들

마지막으로 계수가 1인 행렬들에 관해 특수한 성질 하나만 알아보고 연습문제로 넘어간다. 결론부터 보면

행렬의 열들이 모두 c의 상수배임은 곧 행렬의 열공간이 벡터 c만을 사용하여 생성되는 부분공간이라는 것이고, 마찬가지 원리로 행공간은 벡터 r^T 만을 사용되어 생성된다. 즉 cr^T = A라고 두었을 때 C(A) = span{c}, C(A^T) = span{r^T} 이다.

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여기서도 선형대수학의 두 번쨰 기본정리가 성립하여야 한다. 그렇다면 열공간 C(A)와 좌영공간 N(A^T) 또한 수직이어야 하는데, 다음과 같이 증명이 가능하다.

 

 

 

 

4. 계수가 1인 행렬들 - 응용

A = cr^T 꼴로 표현되는 행렬에서 C(A) = span{c}, C(A^T) = span{r} 인 특성은 굳이 행렬의 계수가 1이 아니더라도 응용이 가능하다. 예시를 한번 보자.

이를 일반화하면 다음과 같다. 

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연습 문제

(5.5절 연습문제 13번)참/거짓을 판단하라. 참이면 이유를, 거짓이면 반례를 들어라.

(a) 행렬의 열과 행의 개수가 같으면 열공간과 행공간은 동일하다.

(b) A와 -A의 열공간, 행공간, 영공간, 좌영공간은 같다.

(c) A와 B가 같은 열공간, 행공간, 영공간, 좌영공간을 가진다면 A는 B의 상수배이다.

(5.5절 연습문제 23번) 아래의 행렬을 곱하지 않고 행공간과 열공간의 기저를 찾아라.

(5.5절 연습문제 35번) 벡터공간 M은 3차 정방행렬들을 원소로 가진다. M에 속한 행렬 X에 다음과 같이 주어진 A를 곱한다.

(a) AX 가 영행렬이 되는 X들로 이루어진 부분공간 N을 찾아라.

(b) AX 가 영행렬이 되지 않는 X들로 이루어진 부분공간 P를 찾아라.

(c) dim(N) + dim(P)의 값은 얼마인가?

(5.5절 연습문제 38번)A^T A v= 0 이라고 하자. N(A^T A) = N(A) 인 이유를 설명하라.