벡터공간의 기저와 차원

이번 포스트에서는 선형독립을 정확하게 정의한 후 기저를 배우고 그를 통해 벡터공간의 차원을 명확하게 구한다.

 

1. 선형독립

"벡터들이 선형독립이다" 라는 문장에서 선형독립을 다음과 같이 정의한다.

 

선형독립의 정의 1: 임의의 행렬 - 벡터 곱으로 표현된 방정식 Av = 0의 해가 v = 0으로 유일할 때, A의 열벡터들이 선형독립(linearly independent)이라고 한다.

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즉 행렬 A의 열들 q_1, q_2...q_n 의 어떠한 0이 아닌 선형결합도 영벡터를 만들 수 없다면 열벡터 q_k들은 선형독립이다. 이를 다르게 표현한다면, N(A) = Z 이다. 행렬의 영공간에는 오직 영벡터만이 존재한다. 또한 이는 선형독립의 또 다른 정의이다.

 

선형독립의 정의 2: 임의의 벡터들 u_1, u_2...u_n 으로 영벡터를 만드는 유일한 선형결합이 0u_1 + 0u_2 + ... + 0u_n 이면 벡터 u_k 들은 선형독립이다.

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반대로 임의의 벡터들의 영이 아닌 선형결합으로 영벡터를 만들 수 있다면 이 벡터들은 선형종속이다. 따라서 임의의 벡터들로 이루어진 집합 S = {s_1, s_2...s_n}의 원소들 중 영벡터가 하나라도 존재한다면 해당 집합의 벡터들은 무조건 선형종속이다. 영벡터가 아닌 벡터들에 0을 곱하고 영벡터에 0이 아닌 스칼라를 곱한 후 선형결합을 해주어도 결과는 영벡터이기 때문이다.

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이제 행렬 내부에서 열들이 선형독립일 조건을 알아본다. 예시를 가지고 시작한다. R^2 상의 임의의 세 벡터는 선형독립이 될 수 없다. 어떠한 벡터들을 선택하더라도 그 중 두 벡터의 0이 아닌 선형결합이 나머지 벡터를 만들 수 있다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 직관을 사용하지 않고 설명하려면 행렬을 사용하면 된다.

다음은 이를 일반화하여 얻을 수 있는 참인 명제들이다.

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1. n > m을 만족하는 두 자연수 m, n에 대해 R^m 상의 임의의 n개의 벡터는 선형종속이다.​

위의 예시와 유사한 방법으로 주어진 명제를 행렬 - 벡터 곱으로 표현 가능한데, 이때 행렬의 행 개수보다 선택된 벡터의 수가 더 많으면 자유 열은 반드시 존재하고 이는 열들이 선형종속임을 의미한다. 또한 이를 행렬로 확장하면, m X n 행렬 A에 대해 n > m 이면(즉 가로로 긴 모양이면) 방정식 Av = 0이 v = 0 이 아닌 해를 가짐이 확실하므로 A의 열들이 선형종속임을 알 수 있다.

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2. 임의의 m X n행렬 A의 계수가 n일때 A의 열들은 선형독립이며 n개의 피봇이 존재한다. 또한 N(A) = Z 이다.​

마찬가지로 명제의 참 거짓을 판단하기 위해 행렬 - 벡터 곱으로 표현하면 주어진 행렬의 모든 열이 피봇 열이고(rank(A) = n), 이로부터 열벡터들의 선형결합으로 영벡터를 만드는 방법은 모든 스칼라가 0일 때로 유일함을 알 수 있다. 또한 정사각행렬의 모든 열들이 독립이면, 이는 가역행렬이다.

 

 

 

 

2. 벡터공간의 기저

포스트"벡터공간과 부분공간 그리고 행렬의 열공간" 에서 열공간 C(A)를 표현하는 방법을 공부했는데, 임의의 행렬 A = [q_1 q_2 q_3...q_n]이 주어졌을 때, 열공간 C(A) = {열벡터들의 선형결합으로 표현되는 모든 벡터들 : cq_1 + dq_2 + eq_3 +...+fq_n , c, d, e..f는 임의의 스칼라} 이다.

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이때 열공간 표현시 굳이 모든 벡터들을 사용해야 힐 필요는 없는데, 예시를 통해 설명한다.

조건에 따라 굳이 모든 열벡터들을 사용하지 않더라도 열공간 표현이 가능함을 알 수 있다. 위의 예시에서 3열을 선형결합에 표현하지 않은 이유는 1열과 2열의 0이 아닌 선형결합으로 3열을 표현할 수 있고 다른 경우에 대해서도 가능하기 때문이다.(주어진 벡터들 중 어떠한 2개를 선택하더라도 나머지 벡터를 0이 아닌 선형결합으로 표현가능) 이는 집합 S = {1열 열벡터, 2열 열벡터, 3열 열벡터}의 원소들이 선형종속임을 알려주고, 집합 S' = {1열 열벡터, 2열 열벡터}의 원소들은 선형독립임을 보여준다.

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집합 S와 S'의 차이는 다음과 같다: 각 집합에 속한 원소들의 선형결합은 동일한 부분공간 C(A)를 생성하는데, 여기서 집합 S의 원소들은 공간 C(A)를 생성하는데 필요한 최소한의 벡터임을 알 수 있다. 그리고 이 벡터들의 집합 S를 공간 C(A)의 기저(basis) 라고 한다.

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벡터공간의 기저_정의: 선형독립인 벡터들이 공간을 생성(span)할 때 이 벡터들의 집합을 생성된 공간(spanning set)의 기저(basis) 라고 한다.

주의: 기저는 벡터가 아닌 "집합"이고 기저를 구성하는 원소들을 "기저벡터"라고 한다.

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또한 정의로부터 다음 정리들이 도출된다.

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정의로부터 도출되는 정리 1: 생성된 공간 내부의 임의의 벡터 u를 기저에 속한 벡터들의 선형결합으로 쓰는 방법은 유일하다.

정의로부터 도출되는 정리 2: 어떠한 부분공간의 기저벡터의 원소는 해당 공간(spanning set)을 생성 가능한 최소한의 벡터들이다.

정의로부터 도출되는 정리 3: 모든 n차 가역행렬의 열들의 집합은 R^n의 기저이다.

정의로부터 도출되는 정리 4: 행렬 A의 피봇 열들은 C(A)의 기저이다. 단 RREF 형태의 소거된 행렬의 피봇 열들은 일반적으로 C(A)의 기저가 아니다.

다만 A를 소거하여 얻은 RREF 형태의 행렬 R의 행공간과 A의 행공간은 같다. 소거법 자체가 행들의 선형결합으로 이루어지기 때문에 공간이 유지된다.

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정의로부터 도출되는 정리 5: 행렬 A의 영공간 N(A)의 기저는 방정식 Av = 0의 special solution 이다.

이전 포스트 "행렬의 영공간" 중 "논의" 부분을 읽었다면 이해가 쉬울 것이다. 언급한 방정식의 special solution 이란 자유 열들을 하나씩만 고려해 준 해로서 이 해들만으로 모든 영공간 해를 생성 가능하다. 따라서 이는 영공간의 기저이다.

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3. 벡터공간의 차원

이제 벡터공간의 차원을 정확하게 정의할수 있다. 차원의 정의는 다음과 같다:

 

벡터공간의 차원: 어떤 혹은 임의의 기저에 포함된 벡터의 수를 그 기저로부터 생성되는 벡터공간의 차원(demension)이라 한다.

벡터공간의 차원이 위와 같이 정의되려면, 동일한 공간에 대해서 항상 같은 차원을 가짐을 증명해야 한다. 증염은 다음과 같다:

또한 임의의 벡터공간 A의 차원을 기호로 dim(A) 로 표현하기도 한다.

 

 

 

 

 

 

4. 행렬공간과 함수공간

여기까지 선형독립과 기저, 벡터공간의 차원에 대해서 공부했다, 이제 이 개념들을 더욱 일반적으로 확장할수 있다. 수학에서 벡터는 행렬의 열벡터뿐 아니라 행벡터, 더 나아가 행렬 그 자체 혹은 함수또한 될 수 있다. 따라서 부분공간 혹은 벡터공간 또한 행렬의 열벡터에서부터 얻는 것 뿐 아니라 행렬로 이루어진 행렬공간, 함수로 이루어진 함수공간으로 볼 수도 있다.

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공간을 이루는 성분들이 열벡터이던 함수이던 선형독립과 기저 등의 본질적인 개념은 변하지 않는다. 이 파트는 새로운 개념을 설명하는 것이 아닌 벡터를 더욱 일반적으로 바라볼 수 있게 하는 것이 목표이므로 몇 가지 예제만 풀어보고 넘어간다.

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예제_행렬공간: 3X3 대칭행렬로 이루어진 공간에 대한 기저와 차원을 구해라.

예제_함수공간: 2차 선형 미분방정식 Ad^2 y / dt^2 + Bdy / dt + Cy = 0의 해로 이루어진 공간의 기저와 차원을 구하라.

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연습 문제

(5.4절 연습문제 30번)코사인 공간 F는 모든 선형결합 y(x) = Acos(x) + Bcos (2x) + Ccos(3x)를 원소로 가진다. 공간 F의 원소들 중 y(0) = 0을 만족하는 부분공간 S의 기저를 찾고 S의 차원을 구하라.

 

(5.4절 연습문제 33번)벡터 (a, b, c, d)중 a + c + d = 0을 만족하는 벡터들의 공간을 S, a + b = 0이고 c = 2d 를 만족하는 벡터들의 공간을 T라 하자. S와 T에 대한 기저를 찾고 S와 T의 교집합의 차원을 구하라.

(5.4절 연습문제 38번)임의의 두 부분공간 V, W에 대해 dim(V) + dim(W) = dim(V intersection W) + dim(V + W) 가 성립함을 증명하라. (intersection은 교집합을 의미한다.)

(5.4절 연습문제 39번)R^n의 두 부분공간 V, W에 대해 dim(V) + dim(W) > n을 만족할 때 V와 W 모두에 속하는 영벡터가 아닌 벡터가 존재함을 보여라.