미분당한적분상수

시작하기 전에 포스트에서 다음 예제를 많이 사용할 것이므로 첨부한다. 1. 부분분수 분해 포스트 라플라스 변환(1) 마지막 예제를 떠올려 보자. 풀이과정에서 Y(s) = 1 / (s - a)(s - 3)(s - 1) + y(0)(s - 4) / (s -3)(s - 1) + y'(0) / (s -3)(s - 1) 를 얻었는데, 바로 역변환을 알 수 없기 때문에 이를 부분분수들의 합으로 분해하고 역변환을 취했음을 볼 수 있다. 이런 과정은 라플라스 변환을 사용한 풀이에서 자주 나오니까 알아두자. 이러한 형태의 분수들은 모두 1차 부분분수 혹은 1, 2차 부분분수들로 나누어진다. 이 사실을 통해 모든 초기값을 0으로 가정한 후 간단한 분수를 얻었고, 계수 계산을 하지 않은 채 단지 원래의 초기값만 고려하여 문..

지금까지 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부했고 주로 선형 미분방정식에 대해 다루었다. 영공간의 해를 지수함수 꼴이라 예측하고 풀었으며 입력이 지수함수 혹은 삼각함수(지수함수) 꼴일 때 또한 지수함수의 특성을 이용하여 풀었다. ​ 지수함수의 특성을 사용하여 풀었다는 것이 무슨 말이냐.. 특성 방정식을 생각해 봤을 때 미분으로 이루어진 방정식에서 특성 방정식을 도출해내 미분방정식이 아닌 대수 방정식을 풀었고, 그로부터 미분방정식의 올바른 해를 얻었다. 적분인자 M(t)를 도입해 미적분 영역에서만 푸는 것보다는 특성 방정식을 도입해 대수 영역에서 푸는 것이 훨씬 빠르고 쉬웠다. ​ 이 포스트에서 써놓은 라플라스 변환(laplace transform)은 선형 미분방정식을 대수 영역에서 푸는 체계적인 방법이다...

저번 포스트에서 이계 미분방정식의 입력 항 q(t) 가 지수함수 꼴이거나 지수함수 꼴로 나타낼 수 있을 경우(코사인/사인함수)의 특수해를 찾는 방법에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 q(t) 가 지수함수가 아니거나 지수함수로 전환조차 불가능한 경우에 방정식을 푸는 두 가지 방법을 공부한다. 1. 미정계수법 상계수 미분방정식 F(y, y', y" ...) = q(t)에서 해 y는 입력 q(t)와 유사한 형태를 가진다고 유추할 수 있다. 예를 들어 q(t)가 지수함수인 경우 특수해는 지수함수 꼴이었고, 코사인/사인함수의 경우도 마찬가지였다. q(t)가 지수함수와 다항함수의 곱으로 표현된다면, 해 y(t) 또한 지수함수와 다항함수의 곱 형태로 나타날 것이다. 미정계수법(undetermined coeffic..

저번 포스트에서 n계 미분방정식의 영공간 해를 구하는 방법을 알아보았다. 이번에는 영공간 해를 구하는 방법을 사용하여 방정식이 특정 형태의 입력 q(t)를 가질 때 특수해를 구하는 방법을 공부한다. 1. 지수함수 입력 e^st 와 e^iwt 지수 s가 실수 혹은 복소수인 경우 예시를 들며 시작하자. 방정식 y" + 5y' + 6y = e^4t 의 특수해는 어떻게 구할 것인가? 방정식의 우변이 지수함수 e^4t 이므로 해 y 는 e^4t 와 상수의 곱 형태일 것이다. y_particial = Ke^4t 로 두고 방정식에 대입해 보면 지수 s 가 순허수일 경우: 극좌표 표현 다만 위 방식대로 구한 특수해와 영공간의 해를 더해 완전해를 만들 때 y_p(0) =/= 0 이므로 영공간 해의 계수를 적절히 조절해 ..

지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 방정식, 그리고 몇 가지 수학적 사실에 대해 공부했다. 이제부터는 고계 선형 미분방정식에 대해 알아본다. 이번 포스트에서는 상수 계수를 가지는 이차 미분방정식으로 시작해 좀더 일반적인 n차 미분방정식의 영공간의 해를 구하는 것을 배운다. 1. 상수 계수 미분방정식의 영공간 해 구하기 방정식 Ad^2 y/dt^2 + Bdy/dt + Cy = 0 을 풀어보자. 해 y가 지수함수 꼴이라고 가정하고 시작해 보자. 예시를 들기 위해 방정식 d^2 y / dt^2 + 3dy/dt + 2y = 0 을 풀어보면 지수함수의 특성 때문에, 이러한(지수함수를 이용하는) 방법은 이계 미분방정식에 제한되는 것이 아닌 n계 미분방정식에서 자주 쓰인다. 마지막에 두 해를 더해 줌으로서..

지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대하여 공부하였다. 이제부터는 일차 방정식을 넘어 이계 미분방정식 더 나아가 n계 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부한다. ​ 교재에서 바로 공식을 알려주지 않고 일단 몇가지 수학적인 개념들을 먼저 알려줬으니까 정리도 그렇게 할거임 1. n계 미분방정식의 완벽한 풀이에는 n-1개의 초기조건이 필요하다. 예시를 들어 설명해 보자. 누구나 알고 있는 방정식 F = ma 로 시작한다. a가 가속도를 의미하므로, d^2 y/dt^2 로 쓸 수 있다. 그러면 방정식은 F = md^2 y/dt^2 가 되고, 이는 이계 미분방정식임을 알 수 있다. ​ F가 임의의 y에 대한 함수로 표현된다면, 이 방정식의 해 y는 어떻게 구해야 하는가? 구체적인..

이번 포스트에서는 특정 형태의 일차 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아본다. 각각의 항으로 변수 분리가 가능한 방정식(변수분리형 미분방정식)과 불가능한 방정식 두 가지 경우를 공부한다. 1. 변수분리형 미분방정식: f(y)dy = g(t)dt 꼴 방정식 f(y)dy = g(t)dt 를 살펴보면 좌변에는 오직 y 에 대한 함수들이, 우변에는 t에 대한 함수들이 있는 것을 알 수 있다. 이를 변수분리형 미분방정식, 줄여서 분리 방정식이라고 부른다. ​ 방정식을 푸는 방법은 간단하다. 그냥 양변을 각각의 변수에 대해 적분해주고 구하고자 하는 형태로 바꿔주기만 하면 되니까. 다만 주의해야 할 부분은 적분 계산 시 부정적분이 아닌 정적분을 사용해야 한다는 것이다. 부정적분 시 초기값이나 기타 조건들이 무시..

이번 포스트에서는 비선형 미분방정식중 하나인 로지스틱 방정식을 소개하고 이를 사용하여 정상상태(steady state)와 안정성이 무엇인지 공부한다. 1. 로지스틱 방정식 다음과 같은 비선형 미분방정식을 로지스틱 방정식이라고 부른다. 또한 a = 1, b = 1 , y(0) = 1/2 일 때 그래프는 다음과 같이 그려진다. 방정식의 해 y(t)는 무엇일까? 대부분의 비선형 미분방정식은 해 공식이 없지만(아예 해가 존재하지 않을 수도 있다.) 몇몇 방정식에 대해서는 풀 수 있다. 로지스틱 방정식도 마찬가지이므로 한번 풀어보도록 하자. ​ 아이디어: 방정식 dz/dt = -az + b 는 선형이고, 이러한 형태의 방정식은 해를 찾는 것이 가능하다. z = 1/y 로 두고 이를 이용해 방정식을 풀어보자. z에..

1. 복소수의 성질 1.1. 복소평면 가로 축이 실수, 세로 축이 허수인 평면을 사용하여 복소수를 나타낼수 있다. 복소수 x+iy는 평면 위에서 직교좌표(x,y)로 표현되며, 극좌표 표현으로는 (r , ψ)로 나타낸다. 알고 있겠지만 r은 벡터(x,y)의 길이, 각 ψ는 가로축과 벡터(x,y)간의 예각을 나타낸다. 1.2 복소수의 지수함수 표현(Euler's fomula) 크기가 1인 복소수는 다음과 같이 지수함수 형태로 나타낼수 있다. 사인과 코사인을 각각 테일러급수로 나타내면 공식 유도가 가능하다. 오일러 공식 e^it = cost + isint 를 찾아냈다. 이제 이를 사용해 복소수 x+iy를 지수함수 꼴로 표현하면 2. 미분방정식 dy/dt - ay = Acos(wt) + Bsin(wt) 풀기 주..

이번에는 미분방정식의 입력이 되는 함수들 중 중요한 세 가지 함수와 그에 대한 풀이방법에 대해 공부한다. 각 함수들에 대한 정의와 성질 등을 먼저 적는다. 1.1. 단위계단함수(unit step function) 단위 계단 함수는 H(t)로 표시하며, 0보다 작은 실수에 대해서 0, 0보다 큰 실수에 대해서 1, 0에 대해서 1/2의 값을 갖는 함수이다. (출처 위키피디아) 이를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 참고로 단위 계단 함수의 적분을 int H(t)dt = R(t) (램프 함수)로 정의하며, x=0 인 구간에서 y=x인 그래프이다. 1.2. 디랙델타함수(dirac delta function) 디랙-델타 함수는 다음과 같이 정의된다(엄밀한 정의는 아니다). 또한 이는 단위 계단 함수 H(t) 의 ..