분리 방정식과 완전 방정식

이번 포스트에서는 특정 형태의 일차 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아본다. 각각의 항으로 변수 분리가 가능한 방정식(변수분리형 미분방정식)과 불가능한 방정식 두 가지 경우를 공부한다.

 

 

1. 변수분리형 미분방정식: f(y)dy = g(t)dt 꼴

방정식 f(y)dy = g(t)dt 를 살펴보면 좌변에는 오직 y 에 대한 함수들이, 우변에는 t에 대한 함수들이 있는 것을 알 수 있다. 이를 변수분리형 미분방정식, 줄여서 분리 방정식이라고 부른다.

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방정식을 푸는 방법은 간단하다. 그냥 양변을 각각의 변수에 대해 적분해주고 구하고자 하는 형태로 바꿔주기만 하면 되니까.

다만 주의해야 할 부분은 적분 계산 시 부정적분이 아닌 정적분을 사용해야 한다는 것이다. 부정적분 시 초기값이나 기타 조건들이 무시될 수 있기 때문에(적절한 적분 상수를 찾아 풀 수도 있지만, 정적분이 더 빠르다.) 반드시 t=0 to t 혹은 y(0) to y 로의 정적분을 해주도록 하자.

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간단한 예시인 dy/dt = t/y 를 풀어보자.

풀이 과정에서 y, t 를 적분범위에 적용시키기 위해 더미 변수 x, s 를 사용하였다. 더미 변수는 단지 계산을 위해 사용하는 것이라, 아무거나 써도 상관없다.(풀이과정을 보면 알겠지만 어차피 모두 사라지고 기존의 변수들만 남는다.)

 

 

 

2. 비분리 미분방정식: f(y,t)dy = g(y,t)dt 꼴

위와 같은 형태의 미분방정식은 분해할 수 없다. 그렇다면 이러한 형태의 방정식은 어떻게 풀어야 할까?

그냥 단순하게 생각해서, 좌변의 t를 상수로 보고 분리 방정식을 풀듯이 풀어보도록 하자. 이 과정은 3단계에 걸쳐 설명한다.

 

t가 상수라고 가정하였으므로 적분상수는 t에 대한 함수일 수 있다. (물론 상수일 수도 있다.) 비분리 방정식을 풀 때는 적분 상수가 필요하므로, 이번에는 부정적분을 통해 풀어주자.

만약 C(t) 가 존재한다면, 방정식이 완전하다고 말하고, 최초 방정식 ​f(y,t)dy = g(y,t)dt 이 풀린다.

이게 왜 가능한지 직관적으로 이해가 되지 않아서 직접 유도해 봤다.(뇌피셜임)

결국 비분리 미분방정식의 해를 구하려면 특정한 C(t) 가 존재해야 함을 알 수 있다. 이 C(t) 를 가지는 미분방정식을 완전 미분방정식 이라고 부른다.

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3. 완전성에 대한 조건

그렇다면 어떠한 미분방정식이 C(t)를 가질까? (=완전 미분방정식의 조건이 무엇일까?)2단계가 가능하여 C(t)가 존재하는 방정식은 어떠한 조건을 가지는지 공부한다.

추가로, 처음에 소개한 분리 방정식 f(y)dy = g(t)dt 의 완전성을 판단해 보면 df(y)/dt = - dg(t)/dy => 0 = -0이므로, 분리 방정식은 항상 완전하다는 결론을 얻을 수 있다.

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(1.8절 연습문제 16번) 완전성은 같은 함수 H(t,y)에 대한 다음 두 방정식을 푸는 조건이 된다.

∂H/∂y = f(t,y), ∂H/∂t = -g(t,y) 는 ∂f/∂t = -∂g/∂y 일 때 풀린다.

∂H/∂y 를 t에 대해서 미분하고, ∂H/∂t를 y에 대해 미분하여 완전성이 필요조건임을 보여라. 이는 또한 H의 해가 존재한다는 사실 덕분에 충분조건이기도 하다.