n차 미분방정식 풀이를 위한 성질들

지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대하여 공부하였다. 이제부터는 일차 방정식을 넘어 이계 미분방정식 더 나아가 n계 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부한다.

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교재에서 바로 공식을 알려주지 않고 일단 몇가지 수학적인 개념들을 먼저 알려줬으니까 정리도 그렇게 할거임

 

 

1. n계 미분방정식의 완벽한 풀이에는 n-1개의 초기조건이 필요하다.

예시를 들어 설명해 보자. 누구나 알고 있는 방정식 F = ma 로 시작한다. a가 가속도를 의미하므로, d^2 y/dt^2 로 쓸 수 있다. 그러면 방정식은 F = md^2 y/dt^2 가 되고, 이는 이계 미분방정식임을 알 수 있다.

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F가 임의의 y에 대한 함수로 표현된다면, 이 방정식의 해 y는 어떻게 구해야 하는가? 구체적인 풀이 방법은 배우지 않았지만 F(y) 가 y항과 dy/dt 항을 모두 포함한다면, 이계 미분방정식은 두 개의 초기조건 y(0)와 y'(0)를 반드시 알아야만 풀 수 있다.(고 유추할 수 있다.)

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예시를 들기 위해 질량 m인 물체가 천장에 용수철로 매달려 있는 시스템을 생각해보자. 후크의 법칙 F = -ky 이므로, 시스템을 표현하는 방정식은

md^2 y/dt^2 - ky = 0 이다. 이를 고등학교 물리2 수준으로 풀어보자.

 

다만 이 풀이에는 빠진 부분이 있다. 바로 초기속도 dy/dt(0) 를 포함하지 않기 때문에, 초기속도가 0이 아닌 경우 올바른 해를 도출할 수 없는 것이다.

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임의의 초기속도 y'(0)을 고려하려면 어떠한 해의 형태가 요구될까? 일단 여기서는 ​n계 미분방정식의 풀이에서 n-1 개의 초기조건이 필요하다는 것만 알아두도록 하자.

 

 

 

2. 임펄스 응답 = 기본해 g(t)

선형 미분방정식에서 가장 중요한 해를 g(t) 라고 부른다. 수학에서 g는 기본해(fundamental solution)라고 부르고, 공학에서 g는 임펄스 응답(impulse response)이라고 부른다. 기본해 혹은 임펄스 응답의 정의를 살펴보자.

혹은 특정한 초기조건 하 영공간의 해이기도 하다. 두 가지 방법 중 어떤 것을 선택하더라도 같은 결과를 얻는다.

기본해가 가지는 의미: 기본해 g(t)를 알면 특정한 입력 f(t)에 대한 특수해를 방정식을 풀지 않고 얻을 수 있다.

기본해 g(t)가 상계수 미분 방정식으로부터 도출된 해라면 시간 s에서 t까지의 y 증가값과 0부터 t - s 까지의 증가값이 같다는 결론을 얻을 수 있다(아마..?)

 

기본해를 사용한 특수해 공식에서, 적분 범위를 각각 0부터 t-s 까지 그리고 s부터 t까지로 두고 각각을 미분해 보면 dy/dt 값이 같다는 것을 볼 수 있다. (나중에 해보자)이를 상수 계수로부터의 전이 불변(shift invariant by constant coefficient) 이라고 한다.

 

 

3. 복소평면 위의 단위원과 방정식 s^n = 1

실수 좌표평면 위에서의 단위원은 이미 알고 있다. 그렇다면 복소평면 위의 단위원은 어떨까? 사실 복소평면이란것이 실수 좌표평면의 세로축을 허수 축으로 설정한 것 뿐이므로, 복소평면 위의 단위원 또한 원점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 차이점이라면 점들의 좌표 표현이 (cosx , isinx)로 두 번째 성분에 허수단위 i 가 붙은 것뿐이다. 그림을 한번 보면

그림에 중요한 내용이 포함되어 있는데, 실수 단위원과는 달리, 복소수 단위원 위의 점들은 모두 e^ix 꼴, 즉 유일한 복소수로 나타낼 수 있다는 것이다. 또한 단위원 위의 임의의 복소수 s에 대해 s의 모든 거듭제곱 역시 단위원 위에 있다.

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이것을 통해 방정식 s^n = 1 에 대해 알아보자. s^2 = 1 인 수는 1과 -1 2개이다. s^4 = 1 인 수는 1. -1, i, -i 총 4개이다. 그리고 이 방정식의 해들은 단위원 상에 일정한 간격으로 위치한다. 즉 방정식 s^n = 1 에 대해, n개의 해들은 단위원 둘레에 동일 간격으로 위치한다.​

 

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연습 문제

(2.1절 연습문제 21번) y = Int 0~t {g(t - s)f(s)} ds 이면 my" + ky = f(t) 임을 보여라.

(2.2절 연습문제 15번)복소수 6+8i 를 극좌표 위에 표시할 때, 벡터 (6,8i)와 실수 축이 이루는 각도(편각)를 x라 하자. 다음 복소수들에 대해 각도 x를 찾아라. (a) 6 - 8i , (b) (6 - 8i)^2 , (c) 1/ 6 - 8i