오일러 공식, 복소수 사인곡선

1. 복소수의 성질

1.1. 복소평면

가로 축이 실수, 세로 축이 허수인 평면을 사용하여 복소수를 나타낼수 있다. 복소수 x+iy는 평면 위에서 직교좌표(x,y)로 표현되며, 극좌표 표현으로는 (r , ψ)로 나타낸다. 알고 있겠지만 r은 벡터(x,y)의 길이, 각 ψ는 가로축과 벡터(x,y)간의 예각을 나타낸다.

1.2 복소수의 지수함수 표현(Euler's fomula)

크기가 1인 복소수는 다음과 같이 지수함수 형태로 나타낼수 있다.

사인과 코사인을 각각 테일러급수로 나타내면 공식 유도가 가능하다.

오일러 공식 e^it = cost + isint 를 찾아냈다. 이제 이를 사용해 복소수 x+iy를 지수함수 꼴로 표현하면

 

 

2. 미분방정식 dy/dt - ay = Acos(wt) + Bsin(wt) 풀기

주어진 방정식을 어떻게 풀것인가? sin과 cos는 미분시 각각 cos꼴과 sin꼴로 나타난다. 그렇다면 방정식의 해 또한 두 함수를 더한 형태로 나타날 것이라고 추측할수 있다.

풀리긴 했는데 계산실수하기 딱 좋다. 이제 포스트 처음에 설명한 내용들을 활용하여 주어진 방정식을 푸는 두 번째 방법에 대해 소개한다. 실수를 복소수로 바꾸고, 복소수에 대해 풀고, 다시 실수만 뽑아낸다.

실수 입력을 복소수로 바꾸고, 복소수 해에서 실수 해를 가져온다. 잘 이해가 가지 않는다면 실수 입력 q1(t)를 간단하게 바꾸기 위해 허수 입력q2(t)를 선형결합(덧셈)하여 복소수 입력 q3(t)를 만든 다음, 복소수 입력에 대한 방정식을 풀었다고 생각해보자. 주어진 방정식이 선형이고, 임의로 조작한 입력 q3(t)역시 선형결합을 통한 입력이기 때문에 복소수 해(실수 해+허수 해)에서 허수 해를 제거해주면 실수 입력에 의한 해만 남게 된다.

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연습 문제

(1.5절 예제 4번, 연습문제 21번)실수-복소수-실수 세 단계를 거쳐서 방정식 dy/dt = cost - sint 를 푼다. iw - a의 진폭 R은 root2 이다. 극좌표의 각 α에 대해, tanα = -1이 되어야 하는데, 이를 만족하는 α는 3pi/4 와 -pi/4 두 가지이다. 두 경우에 대해 같은 해를 구하는가? 만약 아니라면, 올바른 각 α 를 어떻게 찾는가?

(1.5절 연습문제 30번)RC 직렬 회로에서 전하 q(t) = q_n + q_p 에 대해 방정식 Rdq/dt + q(t)/C = Vcoswt 를 풀어라.