n차 미분방정식의 특수해 구하기: 지수함수, 코사인함수

저번 포스트에서 n계 미분방정식의 영공간 해를 구하는 방법을 알아보았다.

이번에는 영공간 해를 구하는 방법을 사용하여 방정식이 특정 형태의 입력 q(t)를 가질 때 특수해를 구하는 방법을 공부한다.

 

1. 지수함수 입력 e^st 와 e^iwt

지수 s가 실수 혹은 복소수인 경우

예시를 들며 시작하자. 방정식 y" + 5y' + 6y = e^4t 의 특수해는 어떻게 구할 것인가? 방정식의 우변이 지수함수 e^4t 이므로 해 y 는 e^4t 와 상수의 곱 형태일 것이다.  y_particial = Ke^4t 로 두고 방정식에 대입해 보면

지수 s 가 순허수일 경우: 극좌표 표현

 

다만 위 방식대로 구한 특수해와 영공간의 해를 더해 완전해를 만들 때 y_p(0) =/= 0 이므로 영공간 해의 계수를 적절히 조절해 주어야 한다.

 

 

 

2. 전달 함수와 지수 공명

전달 함수 P(D)

방정식 y" + 5y' + 6y = e^ct 를 다른 관점에서 바라보자. 방정식의 좌변에 있는 미분인자 d/dt 를 D로 표기하면 다음과 같이 표현 가능하다.

특수해 풀이방법에 집중하자. 분수 K = 1 / P(c) 는 입력 q(t) = Ke^ct 를 출력 y_p = e^ct / P(c) 로 "전달"한다.

이 P(D)를 전달 함수(transfer function) 이라 부르고, 변수 s로 표현한 함수 1 / P(s) 를 시스템 함수(system function) 라고 한다.

 

공명

특수해를 구하는 과정에서 문제가 발생할수 있다. 영공간 지수 s = 특수해 지수 c 일 때 특수해의 계수 K가 1/0 이 되어 정의할 수 없게 된다. 이 경우 시스템이 공명(resonance)을 일으킨다고 한다.

이 경우, 일계 미분방정식에서와 같이 다른 방법으로 특수해를 구해주면 된다. 한번 살펴보자.

이제 x를 s에 접근시켜 q(t) = e^ct 일 때의 특수해를 구해보자.

마지막으로 다중 공명(multiple resonance)에 대해 공부하고 공명 파트를 끝내도록 하자. 시스템 함수의 분모 P(s) 가 P'(c) = 0 이라면? 간단하게 특수해가 정상적으로 구해질때까지 위의 과정을 반복하면 된다. 예제를 통해 알아보면

(2.4절 예제 8번)4차 미분방정식 y'''' = 1 의 특수해를 구하라.

 

3. 삼각함수 입력 coswt와 sinwt

입력 q(t) 가 사인 형태나 코사인 형태일때 특수해는 어떻게 구할까? y_p(t) = Acoswt + Bsinwt 로 두고 방정식을 풀어도 해를 얻을 수 있지만, 오일러 공식을 이용하여 푸는 것이 훨씬 빠르고 간편하다. 일차 미분방정식을 배울 때와 같이 실수 - 복소수 - 실수 세 단계를 거쳐 해를 구한다. 만약 공명이 나와도 쫄지 말고 배운 대로 하면 된다.

 

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연습 문제

(2.4절 연습문제 04-a 번)y''' - y = 0 의 s1 에서 s3 까지의 근은 무엇이며 영공간의 해들은 무엇인가?