미정계수법과 매개변수 변환법

저번 포스트에서 이계 미분방정식의 입력 항 q(t) 가 지수함수 꼴이거나 지수함수 꼴로 나타낼 수 있을 경우(코사인/사인함수)의 특수해를 찾는 방법에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 q(t) 가 지수함수가 아니거나 지수함수로 전환조차 불가능한 경우에 방정식을 푸는 두 가지 방법을 공부한다.

 

 

1. 미정계수법

상계수 미분방정식 F(y, y', y" ...) = q(t)에서 해 y는 입력 q(t)와 유사한 형태를 가진다고 유추할 수 있다. 예를 들어 q(t)가 지수함수인 경우 특수해는 지수함수 꼴이었고, 코사인/사인함수의 경우도 마찬가지였다. q(t)가 지수함수와 다항함수의 곱으로 표현된다면, 해 y(t) 또한 지수함수와 다항함수의 곱 형태로 나타날 것이다. 미정계수법(undetermined coefficients)는 이 아이디어를 사용하여 방정식의 특수해를 구한다.

다음은 미정계수법을 사용하여 문제를 풀 때 입력 q(t)에 따른 해 y(t)의 형태를 정리해 놓은 것이다. 만약 q(t)가 다양한 함수들의 곱으로 표현되어 있으면 각각의 표현을 곱해주면 된다. 예를 들어 q(t) = te^ct 일 때 yp(t) = (at + b)e^ct 꼴이다.

 

미정계수법은 다양한 형태의 입력 q(t)에 적용이 가능하며, 계산이 쉽다. 다만 실패할 가능성이 존재하며 방정식의 계수가 상수일 때만 사용 가능하다. 예제를 하나 풀어보면

방정식이 풀리는 것을 확인할 수 있다. 미정계수법을 사용할 때의 주의점들을 확인하고 다음 내용으로 넘어감

 

2. 매개변수 변환법

매개변수 변환법(variation of parameters)은 미분방정식을 푸는 두 번째 방법이다. n계 미분방정식의 서로 다른 n개의 영공간의 해를 알고 있다는 조건 하에 방정식이 가변 계수를 가질 때도 사용 가능하며, 임펄스(델타함수 δ(t))를 포함한 더욱 다양한 형태의 입력에 대해서 특수해를 찾아낼 수 있다. 일단은 이계 미분방정식에 대해서만 적는다. n차 방정식에 대해서는 포스트 마지막에 있음

다음은 2계 미분방정식에서 매개변수 변환법이 특수해를 찾아낼 수 있다는 것을 보여주는 과정이다. (좀 더러움)

(참고)위의 과정 중 c1'y1 + c2'y2 = 0 은 가정이 아니고 단순히 임의의 c1, c2 에 관한 조건을 설정해 준 것이다. 애초에 c1과 c2는 어떠한 함수던 간에 포함하므로, 조건을 설정해주고 결과가 그 조건을 만족한다면 모순이 없다.

 

 

+n차 미분방정식에서 매개변수변환법은 다음과 같다:

예제를 하나 풀어보면

 

(2.6절 예제 6번)매개변수 변환법을 사용해 d^2 y/dt^2 + dy/dt = delta(t) 의 특수해를 구하라.

+여기서 영공간의 해 = 특수해 이므로 특수해 sint에 t 를 곱해주어야 한다고 생각할 수 있는데, 인자 t를 곱하는 경우는 공명이 발생하였을 대로 한정한다.(식 자체에 모순이 있거나 특성방정식의 모든 근을 표현하지 못하거나) 물리학적 관점에서 바라보았을 때 공명은 외부(우변)에서 진동을 가하며 외부 진동의 진동수와 시스템의 고유 진동수(좌변의 지수)가 같아야만 발생한다. 델타함수는 진동을 나타내는 것이 아니므로 공명을 발생시키지 않는다.

​

---

헷갈리는 부분

Q. 매개변수 변환법 사용시 부정적분을 사용하였을 때와 정적분을 사용하였을 때의 차이점이 무엇인가?

​

A. 부정적분 사용시 입력에 의한 특수해만 고려할 것이고 정적분 사용시 초기조건에 의한 해 즉 영공간 해까지 고려할 것이다. 부정적분을 사용한 매개변수 변환법의 피적분함수를 f(t) 로 두면 y(t) = F(t) 인데, 이는 초기값 F(0)을 고려하지 않은 결과이다.

---

연습 문제

(2.6절 연습문제 16번)방정식 d^2 y / dt^2 + 3dy/dt - 4y = te^ct 에 대해 공명을 발생시키는 c 값을 찾고 그에 따른 특수해의 형태를 구하라.(미정계수법)

(2.6절 연습문제 23번)방정식 d^2 y / dt^2 - 5dy/dt + 6y = 12 를 미정계수법과 매개변수 변환법으로 각각 풀고 답을 비교하라. 매개변수 변환법 사용시 정적분을 사용하면 답이 다르게 나올 것이다. 이유가 무엇인가?