n차 미분방정식의 영공간 해 구하기

지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 방정식, 그리고 몇 가지 수학적 사실에 대해 공부했다. 이제부터는 고계 선형 미분방정식에 대해 알아본다. 이번 포스트에서는 상수 계수를 가지는 이차 미분방정식으로 시작해 좀더 일반적인 n차 미분방정식의 영공간의 해를 구하는 것을 배운다.

 

1. 상수 계수 미분방정식의 영공간 해 구하기

방정식 Ad^2 y/dt^2 + Bdy/dt + Cy = 0 을 풀어보자. 해 y가 지수함수 꼴이라고 가정하고 시작해 보자.

예시를 들기 위해 방정식 d^2 y / dt^2 + 3dy/dt + 2y = 0 을 풀어보면

지수함수의 특성 때문에, 이러한(지수함수를 이용하는) 방법은 이계 미분방정식에 제한되는 것이 아닌 n계 미분방정식에서 자주 쓰인다. 마지막에 두 해를 더해 줌으로서 완벽한 영공간의 해를 얻었고, 상수 K값은 주어진 초기조건을 고려하여 결정해주면 된다.

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또한 풀이 과정에서 지수들에 의한 방정식 As^2 + Bs + C = 0을 특성 방정식(characteristic equation) 이라고 한다. 특성 방정식의 해는 실수와 허수 심지어 복소수 등 모든 형태의 수가 될 수 있고, 중근 또한 가능하다. 각각의 해 형태에 대해 자세히 적어보면:

 

1.1. s가 실수 혹은 복소수로 두 개의 구분되는 근을 가질때

특성 방정식의 해 s가 실수 혹은 복소수 꼴로 표현되는 경우 위에서 설명한 방식대로 지수의 계수에 그대로 대입하여 방정식의 해를 찾을 수 있다.

(중요)또한 복소수 근의 경우 오일러 공식을 사용해 삼각함수 꼴로 나타낼 수 있다. 예제를 하나 보면

분명히 실수 계수 미분방정식을 풀었는데 복소수 근이 튀어나왔다. 뭐 상관은 없는데 이왕이면 깔끔하게 실수만으로 표현해 보자.

뜬금없이 멀쩡한 해에 복소수를 곱해도 되나라는 생각이 들 수도 있는데 상관 없다. 대입해보면 이 식으로도 방정식을 풀 수 있다.

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뇌피셜로 설명해보자면 지수함수의 특성과 미분방정식 이라는 것이 무엇인지 잘 생각해보면, 지수함수 꼴 Ke^st 의 상수 계수 K는 어떠한 값이 와도 상관이 없음을 알 수 있다. 물론 초기조건에 따라 조정하겠지만, 실수 형태의 해를 구한 후 조정해도 상관 없다.

1.2. s가 중근을 포함할 때

특성 방정식의 해 s가 2개의 중근으로 나타날 때는 어떻게 할까? 이러한 경우에는 하나의 해에 변수 t를 곱해준 후 나머지 해들과 선형결합하여 완벽한 해를 찾아준다. 만약 특성 방정식이 n개의 중근을 가지는 경우 해 공식은 다음과 같다.

늘 그랬듯이 예제를 하나 풀어보자. y" - 2y' + y = 0 을 풀면

(주의)t를 곱하지 않아도 계산이 가능하므로 모순이 생기지 않는다고 생각할 수 있는데, 중근이 생기더라도 n차 특성방정식의 해는 n개이다. 풀이법을 적용하지 않는다면 두 해는 결합되고 이는 해를 완벽하게 표현하는 것이 아니다.

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2. 물리적 의미: 회로이론

다음은 이차미분방정식을 사용하여 실제 현상을 해석하는 예시이다. 책에 용수철이랑 회로 두개가 나와있는데 내가 전기과니까 회로만 쓸거임

 

회로이론 - RLC 직렬회로에서 이차 방정식

옴의 법칙 V = IR 로 직렬 RLC 회로에 흐르는 전류량을 구할수 있다.

회로가 저항(Resister), 축전기(Capacitor), 코일(inductor)로 이루어져 있으므로 이 세 가지 요소를 모두 포함하는 방정식을 찾아야 한다.

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저항을 포함하는 전압에 대한 식은 V = IR 이고, 코일에 가해지는 전압(=L dI/dt), 축전기 양단에 걸리는 전압(= 1/C * int I dt)을 표현하는 수식을 사용하여 회로 전체의 전압을 표현해 주면

 

3. 이차 특성 방정식의 해의 종류에 따른 미분방정식 해 y(t)의 개형

미분방정식의 해를 찾을 때, 특성 방정식의 해가 실수/복소수/중근 으로 나누어진다는 것을 알았다. 여기서는 각 경우에 대해 해 y(t) 가 시간이 지날수록 어떻게 움직이는지를 알아보려고 한다.

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이차 특성 방정식 As^2 + Bs + C = 0 으로 시작하자. 해 s가 어떠한 형태의 숫자가 될 지는 판별식 B^2 - 4AC 를 통해 알아볼 수 있다. 각각의 s에 대한 해 y의 개형을 알아보자.

순서대로 실수 근, 중근, 복소수 근을 가질 때 y(t)의 개형. 허근의 경우 증감이 없고 진동만을 하게 된다. 출처: https://www.math24.net/mechanical-oscillations/

과감쇠(overdamping)

특성 방정식이 실수 근만을 가질 때 해 y(t)를 과감쇠 라고 하며 ​y(t) = Ae^st + Be^dt + .... 꼴로 나타난다.

이 경우 y(t)는 비교적 천천히 지속적으로 감소(혹은 증가)하게 된다.

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임계 감쇠(critical damping)

특성 방정식이 중근을 가질 때 해 y(t)를 임계 감쇠 라고 하며 ​y(t) = Ae^st + Bte^dt + .... 꼴로 나타난다.

이 경우 y(t)는 비교적 빠르게 감소(혹은 증가)하게 된다.

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저감쇠(underdamping)

특성 방정식이 복소수 근을 가질 때 해 y(t)를 저감쇠 라고 하며 y(t) = e^at coswt + e^at sinwt (오일러 공식 사용)꼴로 나타난다.

이 경우 y(t)는 진동하며 감소(혹은 증가)하게 된다.

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무감쇠(no damping)

특성 방정식이 허수 근만을 가질 때 해 y(t)를 무감쇠 라고 하며 y(t) = coswt + sinwt 꼴로 나타난다.

이 경우 y(t)는 증감을 가지지 않고 오직 진동만 하게 된다.

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+보통 교재를 보면 "감쇠"라는 용어만 사용하는데, 방정식을 잘 조정하면 해가 증가할 수도 있다. 다만 현실 세계의 입력이 없는 이차 시스템에서 해가 증가할 리가 없으므로 감쇠라는 용어를 사용하는 것이다.

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연습 문제

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(2.2절 연습문제 24번)복소수 s가 실계수 방정식 s^3 + As^2 + Bs + C = 0 의 해라고 하자. 켤레복소수 s 또한 이 방정식의 해가 되는 이유는 무엇인가?

(2.2절 연습문제 04번) y = ae^-2t cos3t + be^-2t sin3t 를 해로 가지는 이계 미분방정식은 무엇인가?