행렬식

1. 행렬식

처음으로 행렬식(determinant)에 대해 알아보자. 행렬식이란 어떠한 행렬에 대해 유일하게 대응되는 숫자로서 다음과 같이 계산한다. 나중에 설명하겠지만 정사각행렬이 아닌 행렬의 행렬식은 무조건 0이기 때문에 계산과정은 정사각행렬에 대해서만 설명하겠다.

좀더 간단하게 설명하자면 다음과 같다.

또한 "A의 행렬식"을 기호로 det(A) 라 표현할 수도 있다. 여기까지 행렬식을 구하는 방법에 대해 알아보았고, 이제 행렬식의 성질에 대해 알아보자. 각 성질에 관한 증명들은 책에 나와있지도 않고(애초에 행렬식 자체가 2페이지로 끝남. 책의 뒷부분에서 자세히 배운다면 추가할 예정) 찾아보기도 귀찮으니 증명은 패스. 그 대신 아래 성질들로부터 알 수 있는 내용만 정리한다.

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성질 0. 비가역 행렬의 행렬식은 무조건 0이다.

성질 1. 다른 행에서 한 행의 배수를 빼는 것은 det(A)를 변화시키지 않는다.

성질 2. 두 행의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다.

성질 3. A가 삼각 행렬이면 det(A)=대각성분들의 곱 이다.

성질 4. det(AB) = det(A)Xdet(B) 가 성립한다.

성질 5. det(A^T) = det(A) 이다.

성질 6. det(A^-1)=1/det(A) 이다.

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다음은 이 성질들로부터 알 수 있는 또 다른 성질들이다.

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성질 1으로부터 행의 위치를 바꾸지 않는 한 원래 행렬 A와 소거된 삼각행렬 U는 같은 행렬식을 같는다는 것을 알 수 있다.

성질 2으로부터 행의 위치를 홀수 번 바꾼 행렬 U에 대해 det(A)=-det(U) 임을 알 수 있다.

성질 1~3으로부터 det(A)=+-피봇들의 곱 임을 알 수 있다. 피봇들을 찾기 위해 소거하는 과정에서 행 교환이 몇 번 일어났는지에 따라 부호가 결정될 것이다.

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2. 역행렬과 크래머 법칙

행렬식을 사용하여 역행렬을 구하는 방법에 대해 공부한다.

첫번째로 방정식 Av=b 를 푸는 새로운 방법을 공부한다. 바로 크래머의 법칙이라고 하는 방법인데 다음과 같다.