행렬의 대각화

이 포스트에서는 정사각행렬을 고유벡터들로 이루어진 행렬과 대각 행렬의 곱으로 분해(대각화)하는 방법에 대해 배우고 그 활용으로서 행렬의 거듭제곱과 이를 사용한 차분방정식의 풀이에 대해 공부한다.

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1. 행렬의 대각화​

간단한 설명은 아래와 같다:

유도과정은 다음과 같다:

여기서 하나 짚고 넘어갈 것이 있다. 행렬 A를 대각화시키면 A=VΛV^-1 형태로 나타나게 되는데, 이때 고유벡터 행렬 V 내부의 열벡터들과 고유값 행렬 Λ을 구성하는 원소들(A의 고유값들)의 배치 순서가 서로 같게 나타난다. (Ax = lambda x 를 만족하는 벡터와 값들이 서로 같은 위치에 있다. 예를 들어 두번째 고유값에 대응하는 고유벡터는 V의 2열에 위치한다.) 이때, 식 A=VΛV^-1 에서 V의 열들의 위치를 바꾼다면 , 고유값 행렬 Λ 또한 그에 맞추어 원소들의 위치가 바뀌게 된다. 예시를 가지고 보면

 

 

 

2. 대각화 가능성

정사각행렬이라고 해서 모든 행렬이 대각화가 가능한 것은 아니다. 위의 과정에서 보듯이 행렬의 대각화에 필요한 전제조건으로 꽉 찬 개수(n차 정사각행렬에 대해 n개)의 서로 독립적인 고유벡터를 가져야 하는 것을 볼 수 있다. 대각화의 후반부 과정에서 고유벡터 행렬의 역행렬을 곱해주어야 하는데, 만약 종속인 벡터가 존재한다면 이는 고유벡터 행렬 V가 비가역임을 의미하고, 역행렬이 존재할 수 없다.

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그렇다면 독립적인 고유벡터가 몇 가지가 존재하는가, 즉 어떠한 행렬의 대각화 가능성을 판단하는 방법은 무엇일까? 아래에 체계적인 방법을 제시해 보겠다.

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대각화 가능성 판단법

만약 어떠한 정사각행렬 A가 주어져있고 그 고유값이 lambda 라면 다음과 같은 사실이 성립한다.

또한 동일한 고유값에 대해 다음이 성립한다.

즉 선형독립인 고유벡터의 개수를 세려면 서로 다른 고유값의 개수를 세면 된다.

 

 

 

 

3. 행렬의 거듭제곱

행렬의 대각화가 쓰이는 곳은 많겠지만, 그 중에서도 가장 중요한 것은 행렬의 거듭제곱 계산의 편리함에 있다. 어떠한 행렬을 대각화시킬수만 있다면 그 행렬의 거듭제곱은 매우 쉽게 구할 수 있다 A^2 같은 경우는 당연하고 A^100, A^(infinite) 등등도 마찬가지이다. 이제 그 과정을 공부한다.

여기서 참고할 점은, 대각화된 행렬 A를 거듭제곱할때 고유벡터가 유지된다는 점이다. A^2=V(Λ^2)V^-1 인데, 이는 거듭제곱 A^2의 대각화로 볼 수 있으며, 고유벡터 행렬 V는 그대로 유지됨을 알 수 있다. 즉 대각화가 가능하다면 거듭제곱 뿐만 아니라 고유벡터, 고유값까지 쉽게 알아낼 수 있는 것이다.(Λ가 대각행렬이므로 거듭제곱은 매우 쉽다.)

 

 

 

 

4. 피보나치 수열

이제 행렬의 거듭제곱을 사용하는 예시로서 피보나치 수열의 각 항들을 구하는 방법에 대해 공부한다. 피보나치 수열은 첫째항과 둘째항이 0,1 이며 세번째 항부터는 앞선 두 항을 더한 값으로 정의되는 수열이다. 점화식으로 나타내면 다음과 같다:

피보나치 수열의 특정 항을 구하려면 일일이 더해주어야 하지만, 이번에는 행렬을 사용하여 계산해보자.

 

 

 

 

5. 차분 방정식

위에서 설명한 피보나치 수열은 차분방정식이다. 이번에는 이러한 차분방정식들을 체계적으로 푸는 방법에 대해 공부한다.

예제를 하나 풀어보면

(6.2절 예제 3번) u_0=(1,0) 부터 시작하는 차분방정식 u_k+1 = Au_k 의 해를 일반식으로 표현하라. A는 다음과 같이 주어진다:

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연습 문제

(6.2절 연습문제 4번)A의 고유벡터 행렬 V의 열들이 선형독립일때 참/거짓을 판단하라.

(a)A는 가역이다.

(b)A는 대각화 가능하다.

(c)V는 가역이다.

(d)V는 대각화 가능이다.

(6.2절 연습문제 9번)기보나치 수열은 첫째항과 둘째항이 각각 0과 1이고 3번째항 부터는 이전 두 항의 평균으로 정의된다. 즉 G_k+2 = G_k+1 + G_k 이다. 이때 기보나치 수가 2/3에 가까워짐을 보여라.