역행렬

1. 역행렬

임의의 가역인 정사각행렬 A가 있을 때, AX = XA = I 를 만족하는 행렬 X를 A의 역행렬(inverse matrix)이라 부르며 A^-1 이라 표현한다.

모든 정사각행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다. 오직 가역행렬만이 역행렬을 가지며, 역 또한 성립한다. 이로부터 역행렬에 대한 몇 가지 특성을 찾아낼 수 있다.

​

성질 1: n차 정방행렬의 역행렬이 존재하는 것과 소거법이 n개의 피봇을 가지는 것, 행렬이 가역인 것은 모두 동치이다.

성질 2: 행렬 A의 역행렬은 A^-1 로 유일하다.

성질 3: A가 가역이면 방정식 Ax = b 의 해는 x = A^-1 b 로 유일하다.

행렬방정식 Ax = b 를 생각해 보자. 이를 소거법으로 풀었지만 이번에는 다르게 풀어보도록 하자. 최종 목적은 해벡터 x를 찾는 것이므로 양변에 A^-1 을 곱하면 해 x = A^-1 b. 를 얻는다.

​

저번 포스트에서 언급했듯이, 계수 행렬 A가 가역이면 방정식 Ax = b 는 유일한 해를 가진다. 그 해를 역행렬을 사용하여 표현한 것이 x = A^-1 b 인데, 방정식의 유일한 해가 존재하므로 가우스 소거법에서 행렬 A가 가역이며, 소거법이 n개의 피봇을 찾아야 한다. 또한 역행렬을 사용한 풀이에서도 해 x는 가우스 소거법으로 도출된 해와 같아야 하므로 역행렬 A^-1 는 존재하며, 유일함을 알 수 있다.

​

성질 4: 영벡터가 아닌 벡터 v에 대해 Av = 0 이라고 하자. 그러면 A는 역행렬을 가질 수 없다. 즉 비가역이다.

간단하게 증명 가능하다. A가 역행렬을 가진다면, v = A^-1 * 0 인데, v가 영행렬이 아니므로 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 A는 역행렬을 가지지 않는다.

​

성질 5: 2 by 2 행렬이 가역인 것과 ad - bc 가 0이 아님은 동치이다.

2차 정방 가역행렬의 역행렬을 구하는 방법은 쉽다. 간단히 소개하고 이를 통해 성질 5를 증명한다.

성질 6: 대각 행렬은 모든 대각성분이 0이 아닐 때 무조건 역행렬을 가진다.

성질 5의 경우와 같이 대각행렬의 역행렬을 구하는 방법을 간단히 소개하고 이를 통해 성질이 옮음을 보인다.

성질 7: 행렬 A와 B가 가역이면 AB도 가역이다. 단 두 행렬이 같은 크기여야 한다.

성질 8: 행렬곱 AB의 역행렬은 B^-1 A^-1 이다.

각 성질에 대한 증명은 다음과 같다:

*참고로 ABC의 역행렬은 C^-1 B^-1 A^-1 이고 같은 방법으로 증명 가능하다.

성질 9: 상삼각행렬의 역행렬을 구하는 연산이 가능하다면 이는 상삼각행렬 집합에 대해 닫혀 있다. 즉 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행렬이며 하삼각행렬에 대해서도 마찬가지이다.

2. 가우스 - 조던 소거법으로 역행렬 계산하기

역행렬의 정의와 성질들에 대해 알아보았으니 이제 구체적으로 역행렬을 구하는 방법에 대해 공부한다. 위에서 소개한 2차 정방행렬, 대각 행렬에 대한 공식들 또한 가우스 - 조던 소거법(Gauss - Jordan Elimination)으로 증명 가능하다.

​

기본적인 방법은 가우스 소거법과 같다. 소거 행렬과 치환 행렬만을 사용할 것이지만, 목적이 다르다. 가우스 소거법의 목적은 위삼각 행렬을 얻는 것이었고, 가우스 - 조던 소거법은 단위 행렬과 역행렬을 찾는다. 이러한 목적을 위해, 첨가 행렬(augmented matrix)을 도입한다:

여기서 B = I 로 두면 X는 A의 역행렬이다. 가우스 - 조던 소거법은 이 아이디어를 사용하여 역행렬 A^-1 을 찾는다.

예시를 들어보면 다음과 같다:

가우스 - 조던 소거법이 왜 올바른 역행렬을 주는지에 대한 개인적인 설명은 다음과 같다:

​

역행렬을 구하는 과정에서 행해진 모든 소거와 행 교환들을 포함하는 연산행렬을 K 라고 하자. 방정식 AX = I 의 양변에 K를 곱하면 KAX = KI 이고, 첨가 행렬의 오른쪽 절반 부분에서 KA = I 임을 볼 수 있다.(소거 및 행 교환의 결과가 단위행렬을 주므로) 따라서 방정식은 IX = K 이고(으로 바뀌고), 첨가 행렬의 오른쪽 절반 부분, 즉 K = A^-1 이다. 따라서 가우스-조던 소거법은 올바른 역행렬을 준다.

---

(4.4절 연습문제 07번)3차 정방행렬 A가 1행 + 2행 = 3행 을 만족할 때 A가 비가역 행렬임을 보여라.

(4.4절 연습문제 09번)A가 가역 행렬이고, 1행과 2행을 교환하여 새로운 행렬 B를 얻는다고 하자. B의 가역성을 판별하고 A^-1 를 통해 B^-1 을 (존재한다면)구하라.