대칭행렬/차분행렬

이번 포스트에서는 행렬의 전치와 대칭 행렬을 공부하고 추가적으로 차분 행렬을 통해 선형대수와 미적분의 연관성을 공부한다.

 

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1. 행렬의 전치

m X n 행렬 A를 생각해 보자. 행렬 A의 k행을 k열로, k열을 k행으로(k는 모든 행과 열을 포함한다.) 바꾼 행렬을 A^T 로 표시하며, 이를 행렬 A의 전치(transpose)라고 한다.

이에 대한 두 가지 성질은:

다음은 위의 두 가지 법칙이 참임을 보여주는 과정이다.

 

 

2. 대칭 행렬

대칭 행렬(symmetric matrix) 이란 전치 행렬이 원래 행렬과 같은 행렬을 말한다. 즉 A = A^T 이며 정사각행렬이다. 또한 행렬 A는 주대각선 성분을 기준으로 대칭이다.

 

 

3. 선형대수-미적분 연관성: 차분 행렬

이제 A^T A의 중요한 응용을 다룬다. A가 차분행렬일 때(차분행렬이 무엇인지는 밑에 작성함.) A와 A^T 로 미적분학의 기본정리와 이계도함수를 행렬-벡터 곱으로 표현할 수 있다. 

 

(복습)미적분학의 기본정리:

미적분의 기본정리 1

후방 차분 행렬(backward diffrence matrix) 을 사용하여 도함수의 근사치를 표현할 수 있다. 후방차분행렬 A는 n+1행과 n열을 가진다.

미적분의 기본정리 2

이제 FTC 2 를 행렬로 표현하기 위해 후반 차분 행렬 A를 전치시킨다. A^T 는 A와 비슷하게 도함수를 표현할 수 있으나, 앞의 값에서 뒤의 값을 빼주는 전방 차분이고 따라서 행렬-벡터 곱은 도함수에 -1 을 곱한 값이다(문장이 이해가 가지 않으면 일단 아래의 수식을 읽어보자). 또한 행렬-벡터 곱의 모든 원소들을 더하면 FTC 2 를 보일 수 있다.

이계도함수 d^2 y / dx^2

후방 차분 행렬로 미적분의 기본정리 두 가지를 표현하는 법을 알았고, 이제 행렬 A^T A 로 이계도함수를 표현한다.

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연습 문제

(4.5절 연습문제 04번)행렬 A가 영행렬이 아닌 직사각행렬일 때 A^2 = 0은 가능하지만 A^T A = 0이 불가능함을 보여라.

(4.5절 연습문제 18번)무한히 큰 이계 차분 행렬 S를 생각해보자. 2와 -1의 대각성분은 음의 무한대부터 양의 무한대까지 간다.

(a)S에 모든 성분이 1인 무한 차원 벡터 v = (...,1,1,1...)를 곱한 Sv 를 구하라.

(b)S에 무한 선형 벡터 w = (...,0,1,2,3,...)을 곱한 Sw 를 구하라.

(c)S에 무한 제곱 벡터 u = (...,0,1,4,9,...)을 곱한 Su를 곱하라.

(d)S에 무한 세제곱 벡터 c = (...,0,1,8,27,...)을 곱한 Sc를 곱하라.

(의미)연습문제 18번의 정답들은 각각 1, x, x^2, x^3 의 이계도함수에 -1을 곱한 것과 대응된다.