미래로

1. 역행렬 임의의 가역인 정사각행렬 A가 있을 때, AX = XA = I 를 만족하는 행렬 X를 A의 역행렬(inverse matrix)이라 부르며 A^-1 이라 표현한다. 모든 정사각행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다. 오직 가역행렬만이 역행렬을 가지며, 역 또한 성립한다. 이로부터 역행렬에 대한 몇 가지 특성을 찾아낼 수 있다. ​ 성질 1: n차 정방행렬의 역행렬이 존재하는 것과 소거법이 n개의 피봇을 가지는 것, 행렬이 가역인 것은 모두 동치이다. 성질 2: 행렬 A의 역행렬은 A^-1 로 유일하다. 성질 3: A가 가역이면 방정식 Ax = b 의 해는 x = A^-1 b 로 유일하다. 행렬방정식 Ax = b 를 생각해 보자. 이를 소거법으로 풀었지만 이번에는 다르게 풀어보도록 하자. 최종 목적..

1. 가우스 소거법이 올바른 해를 주는 이유 - 소거법의 행렬 표현 저번 포스트에서 공부한 가우스 소거법을 요약해 보자면 다음과 같다. 행 교환과 소거등 가우스 소거법의 일련의 과정이 정확히 어떠한 원리로 작동하는 것이고, 맞는 해를 주는 이유에 대한 정확한 입증을 위해 행렬의 곱셈을 사용한다. 행 교환과 원소 소거는 행렬방정식의 양변에 특정한 행렬을 곱하는 것으로 설명 가능하다. ​ 소거 행렬 먼저 원소 소거부터 알아보자. 계수 행렬에서 특정한 원소를 소거하기 위해 우리는 다른 행에 적절한 상수를 곱한 후 소거하고자 하는 원소가 있는 행에 더해주었다. 이때 우변 열벡터 또한 동일한 과정을 거쳐주어야 하는데, 해 벡터 (x, y, z...) 에는 그러한 과정을 가하지 않았다. 그 이유를 설명하기 위해, ..

이번 포스트에서는 행렬을 이용하여 선형 연립방정식을 푸는 방법인 "가우스 소거법"에 대해 공부한다. ​ 1. 가우스 소거법으로 선형 연립방정식 풀기 저번 포스트에서 선형 연립방정식을 행렬로 표현하는 방법을 알아보았다. 이제 구체적으로 방정식을 풀어 보자. 2차 연립방정식으로 시작한다. 새로운 연립방정식에서 y = 1 이고 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 x = 3 이다. 따라서 주어진 연립방정식의 해는 (3, 1)이다. 이 방법은 기존에 우리가 연립방정식을 풀 때 자주 쓰였던 방법이다. 가우스 소거법은 이러한 방법을 체계화한 것이다. 3차 연립방정식을 가우스 소거법으로 풀어 보면: 가우스 소거법은 소거를 통해 연립방정식을 풀기 쉬운 형태로 만든다. 소거법을 적용하고 난 후 새로운 연립방정식의 계수 행렬의..

1. 선형 연립방정식 풀기 - 그림 다음 연립방정식을 살펴보자. 주어진 방정식을 어떻게 풀 것인가? 첫 번째 방정식을 하나의 문자로 정리한 후, 두 번째 방정식에 대입하여 풀 수도 있지만, 이번에는 그래프를 그려 교점을 찾는 방식을 사용해 보자. 붉은색 직선은 x - 2y =1 을 나타내고, 푸른색 직선은 2x + y = 7을 나타낸다. 붉은색 직선의 기울기는 1 / 2 이며, 푸른색 직선의 기울기는 -2 이다. 즉, 각 직선의 개형은 서로 독립적이다.(자기 자신만 고려한다) 이중 연립 방정식의 경우 이런 식의 그림(행 그림 이라고 한다)을 그려서 풀 수도 있지만, 방정식의 미지수가 하나만 추가되어도 두 평면의 교점을 찾아야 하며 그 다음은 두 공간의 교점, 그 다음은 4차원 공간의 교점을 찾아야만 방정..

1. 행렬(matrix)의 뜻과 용어 수학에서 행렬이란 수, 문자, 함수를 괄호 안에 직사각형 형태로 배열한 것이다. 이때 각 성분들을 행렬의 원소(element)라 하며, 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column) 이라고 한다. 또한 m행 n열의 원소를 아래첨자를 사용하여 a_m,n 이라 표현한다. m행 n열을 가진 행렬을 m x n 행렬(m by n matrix) 라고 부르며, m = n 인 경우 정사각행렬 또는 n차 정방행렬(square matrix) 이라고 한다. 또한 원소표기법 a_m,n 으로 나타낼 때 m = n 인 원소들을 행렬의 대각성분이라 부르며 대각성분을 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 대각행렬(diagonal matrix) 이라고 부른다. 또한 주대각선 원소들이 모두 1이고 나..

스트랭 미분방정식과 선형대수학 저자 Gilbert Strang|역자 한빛수학교재연구소|한빛아카데미 |2019.07.09 원제Differential Equations and Linear Algebra 페이지 552|ISBN 9791156644422|판형 규격외 변형 ​ 솔루션 보는곳 http://math.mit.edu/~gs/dela/

시작하기 전에 포스트에서 다음 예제를 많이 사용할 것이므로 첨부한다. 1. 부분분수 분해 포스트 라플라스 변환(1) 마지막 예제를 떠올려 보자. 풀이과정에서 Y(s) = 1 / (s - a)(s - 3)(s - 1) + y(0)(s - 4) / (s -3)(s - 1) + y'(0) / (s -3)(s - 1) 를 얻었는데, 바로 역변환을 알 수 없기 때문에 이를 부분분수들의 합으로 분해하고 역변환을 취했음을 볼 수 있다. 이런 과정은 라플라스 변환을 사용한 풀이에서 자주 나오니까 알아두자. 이러한 형태의 분수들은 모두 1차 부분분수 혹은 1, 2차 부분분수들로 나누어진다. 이 사실을 통해 모든 초기값을 0으로 가정한 후 간단한 분수를 얻었고, 계수 계산을 하지 않은 채 단지 원래의 초기값만 고려하여 문..

지금까지 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부했고 주로 선형 미분방정식에 대해 다루었다. 영공간의 해를 지수함수 꼴이라 예측하고 풀었으며 입력이 지수함수 혹은 삼각함수(지수함수) 꼴일 때 또한 지수함수의 특성을 이용하여 풀었다. ​ 지수함수의 특성을 사용하여 풀었다는 것이 무슨 말이냐.. 특성 방정식을 생각해 봤을 때 미분으로 이루어진 방정식에서 특성 방정식을 도출해내 미분방정식이 아닌 대수 방정식을 풀었고, 그로부터 미분방정식의 올바른 해를 얻었다. 적분인자 M(t)를 도입해 미적분 영역에서만 푸는 것보다는 특성 방정식을 도입해 대수 영역에서 푸는 것이 훨씬 빠르고 쉬웠다. ​ 이 포스트에서 써놓은 라플라스 변환(laplace transform)은 선형 미분방정식을 대수 영역에서 푸는 체계적인 방법이다...

저번 포스트에서 이계 미분방정식의 입력 항 q(t) 가 지수함수 꼴이거나 지수함수 꼴로 나타낼 수 있을 경우(코사인/사인함수)의 특수해를 찾는 방법에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 q(t) 가 지수함수가 아니거나 지수함수로 전환조차 불가능한 경우에 방정식을 푸는 두 가지 방법을 공부한다. 1. 미정계수법 상계수 미분방정식 F(y, y', y" ...) = q(t)에서 해 y는 입력 q(t)와 유사한 형태를 가진다고 유추할 수 있다. 예를 들어 q(t)가 지수함수인 경우 특수해는 지수함수 꼴이었고, 코사인/사인함수의 경우도 마찬가지였다. q(t)가 지수함수와 다항함수의 곱으로 표현된다면, 해 y(t) 또한 지수함수와 다항함수의 곱 형태로 나타날 것이다. 미정계수법(undetermined coeffic..

저번 포스트에서 n계 미분방정식의 영공간 해를 구하는 방법을 알아보았다. 이번에는 영공간 해를 구하는 방법을 사용하여 방정식이 특정 형태의 입력 q(t)를 가질 때 특수해를 구하는 방법을 공부한다. 1. 지수함수 입력 e^st 와 e^iwt 지수 s가 실수 혹은 복소수인 경우 예시를 들며 시작하자. 방정식 y" + 5y' + 6y = e^4t 의 특수해는 어떻게 구할 것인가? 방정식의 우변이 지수함수 e^4t 이므로 해 y 는 e^4t 와 상수의 곱 형태일 것이다. y_particial = Ke^4t 로 두고 방정식에 대입해 보면 지수 s 가 순허수일 경우: 극좌표 표현 다만 위 방식대로 구한 특수해와 영공간의 해를 더해 완전해를 만들 때 y_p(0) =/= 0 이므로 영공간 해의 계수를 적절히 조절해 ..